Логарифмічна функція виглядає грізно через запис, але запитує про просте: до якого степеня треба піднести основу, щоб отримати число. Розібралися один раз — далі всі завдання зводяться до кількох шаблонів. Нижче — коротко про формулу, обмеження, поведінку графіка та приклади рівня НМТ.
Що таке логарифмічна функція: формула та обмеження
Запис y = log_a(x) читається так: y — це показник, до якого треба піднести число a, щоб отримати x. Наприклад, log_2(8) = 3. Чому 3? Бо 2 у третьому степені дає 8.
Тут діють жорсткі межі. Основа a має бути додатною і не дорівнювати 1. Тобто a > 0 та a ≠ 1. Число під логарифмом, аргумент x, теж мусить бути строго більшим за нуль. Запис log_2(-4) чи log_2(0) не має змісту.
Логарифмічна функція y = log_a(x) та показникова y = a^x — пара взаємно обернених функцій. Їхні графіки дзеркально симетричні відносно прямої y = x. Окремо мають короткі позначення два часті випадки. Десятковий логарифм з основою 10 пишуть як y = lg(x). Натуральний логарифм з основою e ≈ 2,718 пишуть як y = ln(x). Ви працюєте з ними за тими самими правилами.
Основні властивості логарифмічної функції
Тримайте цей набір перед очима під час розбору прикладів. Він пояснює, де функція живе, де перетинає осі та куди рухається. Основні властивості такі:
- область визначення: D(y) = (0; +∞) (під логарифмом можуть бути лише додатні числа);
- область значень: E(y) = (-∞; +∞) (значенням логарифма може бути будь-яке дійсне число);
- нулі функції: y = 0 при x = 1 (графік завжди перетинає вісь Ox у фіксованій точці (1; 0));
- перетин із віссю Oy: перетину немає (пряма x = 0 є вертикальною асимптотою);
- парність: функція ні парна, ні непарна (це функція загального вигляду, бо її область визначення D(y) = (0; +∞) не симетрична відносно нуля);
- монотонність: строго зростає на всій області визначення, якщо a > 1, і строго спадає, якщо 0 < a < 1.
З цього випливає зручний прийом для порівнянь без калькулятора. Напрям нерівності між логарифмами задає сама основа. Більша основа тягне значення вгору, менша за одиницю — розвертає їх.
Порівняння графіків при a > 1 та 0 < a < 1
Уявіть вісь Oy як стіну. Графік логарифмічної функції підходить до неї впритул, повзе вздовж, але ніколи не торкається і не перетинає. Це і є вертикальна асимптота x = 0. Залишається лише зрозуміти, з якого боку крива йде вгору, а з якого — вниз.
| Характеристика графіка | Основа a > 1 (наприклад, y = log_2(x)) | Основа 0 < a < 1 (наприклад, y = log_0.5(x)) |
|---|---|---|
| Напрямок кривої | графік піднімається вгору зліва направо (функція зростає) | графік опускається вниз зліва направо (функція спадає) |
| Поведінка біля осі ординат | при x → 0+ вітка графіка нескінченно спадає вниз вздовж осі Oy (y → -∞) | при x → 0+ вітка графіка прямує вгору (y → +∞) |
| Знакосталість | y > 0 при x > 1, y < 0 при 0 < x < 1 | y > 0 при 0 < x < 1, y < 0 при x > 1 |
| Спільна опорна точка | (1; 0) | (1; 0) |
Для швидкого ескізу вистачає трьох точок. Візьміть для y = log_2(x) значення (1; 0), (2; 1), (4; 2). Для спадної y = log_0.5(x) підійдуть (1; 0), (2; -1), (4; -2). Проведіть плавну криву через них — і одразу видно характер функції.
Як знаходити область визначення логарифмічних виразів: типові помилки
Шукати область визначення — означає відповісти на одне питання: коли вираз під логарифмом додатний. Усе зводиться до нерівності зі знаком > 0.
Приклад 1. Знайдіть D(y) для y = log_3(2x – 8). Вимагаємо 2x – 8 > 0. Додаємо 8 до обох частин: 2x > 8. Ділимо на 2: x > 4. Отже, D(y) = (4; +∞).
Приклад 2. Знайдіть D(y) для y = log_0.5(9 – x^2). Пишемо 9 – x^2 > 0. Розкладаємо: (3 – x)(3 + x) > 0. Парабола гілками вниз, плюс усередині між коренями. Маємо x ∈ (-3; 3). Тобто D(y) = (-3; 3).
Головна пастка тут подвійна. Учні ставлять ≥ 0 замість строгого > 0, хоча нуль під логарифмом заборонений. І забувають розвернути знак нерівності, коли знімають логарифм з основою 0 < a < 1. Основа менша за одиницю змінює напрям: було більше — стало менше.
Приклад 3. Порівняйте без калькулятора. Пара log_2(5) і log_2(7). Основа 2 > 1, функція зростає, більшому аргументу відповідає більше значення. Тому log_2(5) < log_2(7). Інша пара: log_0.3(4) і log_0.3(6). Основа 0,3 менша за 1, функція спадає. Більший аргумент дає менше значення. Тому log_0.3(4) > log_0.3(6).
Перевіряйте себе підстановкою. Візьміть одне число з відповіді і підставте під логарифм. Вийшов додатний вираз — хід правильний. Вийшов нуль або мінус — шукайте помилку в знаку.
